3歳の時、銀座で迷子になったところをスカウトされ、子役やチャイルドモデルとしてデビュー、1988年、7歳から『あっぱれさんま大先生』に出演しブレイクします。

山崎裕太は現在もタレントや俳優として活躍しており、ドラマ『ショカツの女』シリーズの刑事・青野信吾役など、多くの作品でバイプレーヤーとして出演しています。『大江戸ロケット』でゴールデン・アロー賞の新人賞を受賞してからは、ドラマや映画だけでなく舞台への出演も増えています。

小学校5年生の時、「あっぱれさんま大先生」に出演して注目を集めると、あっぱれ卒業後、Seventeenのモデルとして活躍します。『週刊ヤングジャンプ』「制コレ04」グランプリ受賞、Doll's Voxの元メンバーで、一時期芸能人女子フットサルチーム「南葛YJシューターズ」（現南葛シューターズ）に所属していました。その後結婚情報誌『ゼクシィ』のテレビCMが話題を呼び人気となりました。

2014年2月26日、公式ブログで結婚したことを明らかにし、2017年5月11日、第1子男児の出産を報告し、現在は家族3人で幸せな家庭を築いているようです。

あべ静江の大ファンだった父親が、「どうしたら本人に会えるか」と考えた末に「息子を子役にしてしまえば会える」という結論に至り、子役デビューしました。「さんま大先生」には7年4か月にわたってレギュラー出演し、その間リポーターも務めていた。同番組司会の明石家さんまからは、ボケ方やツッコミ方などのお笑いの基礎を伝授してもらったそうです。

14歳のときに『あっぱれさんま大先生』が終了するとこれまでの悪行が原因で仕事が激減し、16歳の時には収入が無くなった。その後引きこもりや非行に走るなど転落人生を歩むことになり芸能界からの引退も考えたが、内山の現状を知ったさんまから「暇だろうから舞台出てくれ」と言われ引退を思い留まります。タレント業のかたわら、2006年から実兄と訪問介護サービス「まごのて株式会社内山企画」を経営し、代表取締役社長を務めていたが、2009年に廃業、また実家は魚屋だったが、父の死去に伴い廃業しています。2019年11月29日に、草野仁のヘアメイクを担当している女性と入籍、現在は夫婦でYoutubeチャンネル「しんちゃんことちゃんねる」を開設、妻の『ことちゃん』によるオリジナルレシピや2人でのダイエット企画、全国のお取り寄せグルメの紹介といった動画を投稿しています。